নবম-দশম শ্রেণি উচ্চতর গণিত সূত্র ও অতিরিক্ত প্রশ্নের সমাধান

 

সেট

Power Set: set A হলে, A এর power set P(A)

A ফাকা সেট হলে P(A) এর উপাদান ১ টি, P(A)={}

আমরা 2^সেটের উপাদান সংখ্যা দিয়ে পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যা বের করতে পারি।

Example: ধরি, B={1,3,5}

তাহলে P(B)  এর উপাদান সংখ্যা=2^3=8 টি

সেটের অন্তর: A\B = A এর যেসকল উপাদান B তে আছে সে উপাদান বাদ দিতে হবে।

Example: A= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

B={0,2,4,6,8,10}

তাহলে A\B ={1,3,5,7,9}

পূরক সেট: A এর পূরক সেট A' = U\A ; এখানে A এর যেসকল উপাদান U তে আছে সে উপাদান বাদ দিতে হবে। তাহলে A এর পূরক সেট পাব।

ফাংশনঃ

মনে করি ক্রমজোড়ের সেট F = {(0,0), (1,1),(-1,1),(2,4),(-2,4),(3,9),(-3,9)}

একে ফাংশন বলা হলে,

F এর ডোমেন: {0,1,-1,2,-2,3,-3}

F এর রেঞ্জ: {0,1,4,9}

বিপরীত ফাংশন:

উপরের চিত্রের ফাংশনটির অধীনে a -->1, b --> 2, c--> 4 । এই ফাংশনটি এক-এক কিন্তু সার্বিক নয় কেননা 3 এর কোনো প্রাক প্রতিবিম্ব নেই।

উপরের চিত্রের ফাংশনটির অধীনে a -->1, b --> 2, c--> 2 । এই ফাংশনটি সার্বিক  কিন্তু এক-এক নয় কেননা b ও c এর প্রতিবিম্ব 2।

উপরের চিত্রের ফাংশনটির অধীনে a -->2, b --> 1, c--> 3 । এই ফাংশনটি এক-এক ও সার্বিক। শেষোক্ত ক্ষেত্রে কোডোমেন D এর প্রত্যেক উপাদানের জন্য ডোমেন A এর একটি ও কেবল একটি উপাদান নির্দিষ্ট হয়েছে। ফলে, D হতে A তে একটি ফাংশন বর্ণিত হয়েছে, যেই ফাংশনকে প্রদত্ত ফাংশনের বিপরীত ফাংশন বলা হয়।

Note: ফাংশনের বিপরীত ফাংশন থাকবে যদি সেটি এক-এক ও সার্বিক হয়।

বীজগানিতিক রাশি

P(x) = 4x+8x+7

এটি এক চলক বিশিষ্ট (শুধু x আছে) বহুপদি

P(x,y) = 4x+8y+7

এটি দুই চলক বিশিষ্ট ( x ও y আছে) বহুপদি

P(x,y,z) = 4xz+8y+7

এটি তিন চলক বিশিষ্ট ( x ,y ও z আছে) বহুপদি

সূত্র: 

জ্যামিতি(Geometry)

পিথাগোরাসের উপপাদ্য:

এটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ভুমি: AC; লম্ব: AB  এবং অতিভুজ: BC

তাহলে পিথাগোরাসের উপপাদ্য মতে: 

উপপাদ্য : স্থূলকোণী ত্রিভুজের স্থূলকোণের বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র ঐ কোণের সন্নিহিত অন্য দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফল এবং ঐ দুই বাহুর যেকোনো একটি ও তার উপর অপর বাহুর লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণের সমষ্টির সমান।

ABC ত্রিভুজের কোণ BCA স্থূলকোণ, AB স্থূলকোণের বিপরীত বাহু এবং স্থূলকোণের সন্নিহিত বাহুদ্বয় BC ও AC হলে

উপপাদ্য : যেকোনো ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণের বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি অপেক্ষা ঐ দুই বাহুর যেকোনো একটি ও তার উপর অপরটির লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ পরিমাণ কম।

এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য: ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি, তৃতীয় বাহুর অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এবং ঐ বাহুর সমদ্বিখণ্ডক মধ্যমার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির দ্বিগুণ।

ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র: ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।  উল্লেখ্য, তৃতীয় বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডকও ঐ বিন্দুগামী।

 ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র : ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুকে ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র বলা হয়। ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রে মধ্যমাগুলো 2:1 অনুপাতে বিভক্ত হয়।

 ত্রিভুজের লম্ববিন্দু : ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো হতে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাহাই লম্ববিন্দু। 

উপপাদ্য:  ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু সমরেখ।

ব্রহ্মগুপ্তের উপপাদ্য: বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোনো চতুর্ভুজের কর্ণ দুইটি যদি পরস্পর লম্ব হয়, তবে তাদের ছেদ বিন্দু হতে কোনো বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব বিপরীত বাহুকে দ্বিখণ্ডিত করে।

ব্রহ্মগুপ্তের উপপাদ্য অনুসারে: AF=FD

টলেমির উপপাদ্য: বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্র ঐ চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের সমষ্টির সমান।

টলেমির উপপাদ্য অনুসারে: AC.BD = AB.CD + BC.AD